“严格分析奠基者”柯西和他的微积分原理
作为一个具有划时代意义的创造，相比于其他数学理论而言，微积分从诞生到发展成熟似乎经历了更加曲折的过程。接下来，让我们走近在这个曲折过程中做出重要贡献的关键人物——“严格分析奠基者”柯西，一起看一看他的微积分原理吧~撰文 | 棠经过半个世纪的酝酿，牛顿与莱布尼兹终于完成了微积分创立过程中最后也是最关键的一步。而微积分的发展从这里才刚刚开始。在第二次数学危机中，来自贝克莱主教的质疑使得数学家们想尽办法维护自己的尊严，而柯西正是这场分析严格化运动中的奠基者，也是真正有影响的先驱。相比于牛顿、莱布尼兹创立的微积分而言，柯西的微积分原理有什么不同？与前人的微积分原理相比，柯西有什么继承，又有什么进一步的发展呢？让我们一起寻找答案~1一个受争议的数学家——柯西提到柯西，相信学过高等数学后，我们对他的名字都不陌生，随口就能说出很多以他的名字命名的数学定理或公式：柯西判别法、柯西不等式、柯西方程……图1 柯西柯西在数学史上是受到一些争议的。其中，主要原因是他对青年学者的创造的忽视。作为法国科学院的审稿人之一，柯西弄丢了阿贝尔的的重要论文，这使得阿贝尔的贡献没有及时得到认可，而阿贝尔也在贫病交加中去世。同一年，他又弄丢了伽罗瓦的开创性的论文手稿，这造成群论晚问世约半个世纪。柯西去世前说的最后一句话是：“人总是要死的，但是，他们的功绩永存。”阿贝尔和伽罗瓦都死了，但是他们的功绩差一点就永存在柯西家的角落里。而柯西的确是一个数学天才，这一点也不可否认。与其他很多伟大的数学家一样，从小他就对数学产生了浓厚的热爱。在少年时，柯西的数学才华得到了大数学家拉格朗日、拉普拉斯的赏识，并被预言在数学上定成大器。然而，因为出生在法国大革命时期的缘故，艰苦的环境使得他长得瘦小、发育不全。拉格朗日担心这个瘦弱的孩子被累坏，所以给老柯西提出建议：在他17岁之前，不要让他摸（高等）数学书”。长大后的柯西曾在工学院学习，也当过交通道路工程师，之后才转入纯数学的研究。也是因为身体欠佳，柯西在40岁之后，只在“上班时间”研究数学。即使这样，他发表论文的数量依旧惊人，在数学史上是仅次于欧拉的多产的数学家。传说柯西年轻的时候向巴黎科学院学报投论文之快之多，使得印刷厂为了印制这些论文抢购了巴黎市所有纸店的存货，市面上纸价也大增，于是科学院通过决议，以后发表论文每篇篇幅不得超过4页。接下来，我们将在柯西的众多学术成果中拿出他在分析严格化中的工作着重谈一谈~2分析严格化的前夜：第二次数学危机在微积分历史上，柯西处于早期开拓者和现代数学家之间的位置。前辈们创立了一个充满直觉与质朴的领域，而来自贝克莱主教的质疑使得数学家们想尽办法维护自己的尊严[2]。在柯西之前，牛顿和莱布尼茨依据他们各自的思想独立地创建了微积分原理。牛顿建立微积分的过程中有两大类思想。第一类思想建立在无限小量的基础之上，在这一类思想中又分了两种，一种是建立在运动学的背景之上，把时间瞬作为基本的无限小量，其他变量的瞬都是时间瞬的某一倍数；而第二种则摆脱了运动学的背景，把任何变量的瞬看作是不依赖于时间的静止的无限小量，具有不可分量的色彩。第二类思想是首末比的思想，牛顿将其解释为：“消逝量的最终比实际上并非最终量之比，而是无限减小的量之比所趋向的极限[1]。”这可以理解为函数因变量的增量与自变量的增量之比在自变量增量趋于0时的极限。牛顿晚年偏向于首末比思想，他尝试利用沃利斯以来的极限思想来加以说明，但并没有明确定义极限。牛顿首末比微积分原理的主要问题在于，计算流数（导数）时，自变量先增加一个非零增量 ，求得变量增量之比的表达式之后，又令增量 消逝为0。这里关于增量o的前后假设矛盾[1]。图2 牛顿晚年的微积分原理莱布尼茨建立微积分原理主要经历了两个阶段。第一个阶段主要是关于特征三角形的研究，莱布尼茨从特征三角形的研究中主要意识到了求曲线的切线和求曲线下的面积这两类问题与坐标的差值变成无限小时的关系，并且意识到二者的互逆关系。第二个阶段是把序列的求差求和运算推广到微积分运算当中，这依赖于莱布尼茨定义的微分。莱布尼茨把作为无穷小量的微分描述为正在消失或者刚出现的量，与已经形成的量相对应。微分不是0，但小于任意有限的量[3]。对于高阶微分，莱布尼茨认为高阶微分和低阶微分相比，如同点和直线相比一样。这并不为同时代的许多数学家所理解。图3 莱布尼茨的微积分原理3柯西的现行微积分体系是如何形成的？在牛顿与莱布尼茨创建微积分之后，英国和欧洲大陆分别沿着他们的路线进一步发展微积分。英国数学家以牛顿的流数术为基础，主要代表数学家是泰勒。由于几何传统与民族保守情绪，英国数学后期处于停滞状态。欧洲大陆数学家以莱布尼茨的微分为基础，沿用莱布尼虽然微积分的花园里春色满园，但是关于微积分基础的不牢固仍然是一个令人担忧的问题。问题爆发于贝克莱主教的批判，一般认为由以柯西为代表的数学家进行了解决。牛顿的微积分原理的缺点在于自相矛盾，莱布尼茨的微积分原理的缺点在于微分的本质说不清楚。这一事实既是柯西重建微积分原理的理由，也是柯西重建微积分原理的素材。1821年，柯西采用了以牛顿的微积分原理为共同思想，以莱布尼茨的符号为表现形式的微积分发展路线，并与后来的数学家黎曼、魏尔斯特拉斯、达布和勒贝格一道建立了现行微积分体系。由于莱布尼茨的微分说不清楚，柯西只能沿着牛顿的首末比思想，利用达朗贝尔的极限概念对牛顿的首末比微积分原理加以说明和发展。柯西关于极限的定义是这样的：“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限[4]。”以极限为基础，柯西把无限小量定义为以0为极限的变量，导数定义为差商的极限，微分则由导数导出，定积分定义为对于区间划分求和后的极限。可以看到在柯西的微积分原理中，几乎所有的基本概念都是依赖于极限定义的，其体系的结构和现在的微积分结构基本相同，形成了现代微积分原理的雏形。图4 柯西的微积分原理在牛顿的首末比微积分原理中，由于几何与运动学背景，流量可视为曲线下的面积，即柯西微积分原理中的定积分；由流量可得到流数，同样知道了流数也可反推流量，这样流量也可视为反流数，即柯西微积分原理中的原函数。牛顿默认了反流数和积分是等同的东西，而在柯西的微积分原理体系中，二者在定义上是完全独立的，在数值上由微积分基本定理联系起来，通过极限加以严格证明。由于微积分的方法几乎都是沿着莱布尼茨的微积分原理发展起来的，柯西在重建微积分原理时理所应当地要把这些方法囊括进来，从而虽然在牛顿的首末比微积分原理中并未给微分留任何位置，即使是考虑微分的表达形式很好用，柯西也必须定义微分。只是柯西的微分与莱布尼茨的微分已大相径庭。莱布尼茨的微分是针对变量定义的，而柯西的微分是针对函数定义的。而这针对函数定义的微分，为了凑出 的形式，最后会归结为增量 是如何过渡到微分 ，柯西利用恒等函数，通过特殊代一般的逻辑完成这个过渡过程[4]，详情见附录。柯西的以极限为基础、以牛顿的首末比思想为主要内容、以莱布尼兹的符号为主要形式的微积分原理，相比于前人对许多基本概念给出了严格化的定义，使得微积分有了严格的基础。但是由于大部分微积分方法是沿着莱布尼兹的微积分原理发展起来的，而柯西在将方法囊括进来时，更像是后验的极限语言的验证，而不具有“发明者的艺术”。附录：柯西关于单变量函数的微分定义如下[4]：参考文献[1] 李文林著. 数学史概论 第3版. 北京：高等教育出版社, 2011.02.[2] WilliamDunham著. 微积分的历程：从牛顿到勒贝格. 北京：人民邮电出版社, 2010.08.[3]M·克莱因著.古今数学思想.上海：上海科学技术出版社，2009.10.[4] 李文林主编. 数学珍宝 历史文献精选. 北京：科学出版社, 1998.10.本文经授权转载自微信公众号“数学经纬网”。特 别 提 示1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。
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